OLEH: JUMRIATI, S.Pd (Guru SMAN 9 GOWA (SMAN 1 PALLANGGA))
DAN MAHASISWA PPS UNM 16/17)
ANALISIS PEMECAHAN MASALAH DALAM
MENARIK KESIMPULAN DARI PREMIS
–PREMIS BERKUANTOR
A. Latar Belakang
Kata
logika atau logis sangat akrab dengan kita. Kata logis dalam arti yang sama
dengan masuk akal atau dapat dimengerti. Untuk mengerti apa sesungguhnya
logika, kita harus mempelajarinya secara teratur dan sistematis. Mempelajari logika
berarti mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang digunakan untuk
membedakan penalaran yang tepat (valid) dari penalaran yang tidak tepat (tidak
valid) yang selanjutnya mendorong kita untuk berpikir kritis.
Hasil
yang diharapkan dari logika adalah agar kita cakap berpikir sendiri dan
berpikir logis serta kritis. Sifat kritis tidaklah berarti suka membantah dan
mengeritik, serta suka menentang dan menantang, melainkan berpikir dulu,
mengidentifikasi duduknya perkara, menyelidiki dulu, dan tidak begitu saja
menerima suatu pendapat atau penjelasan-penjelasan seakan-akan sudah pasti
benar, atau tergesa-gesa mengambil kesimpulan yang berlaku umum.
Di
lain sisi, kita menyadari bahwa betapa pentingnya berpikir kritis dalam
melakukan pemecahan masalah, baik itu masalah matematika, maupun masalah yang
berhubungan langsung dengan kehidupan sehari-hari. Dengan berpikir kritis, seseorang dapat mengatur,
menyesuaikan, mengubah, atau memperbaiki pikirannya, sehingga ia dapat
mengambil keputusan untuk bertindak lebih tepat. Untuk dapat berpikir kritis,
seseorang harus juga memiliki kemampuan penalaran. Sedangkan jalan kunci untuk
melakukan penalaran adalah dengan memahami logika. Jadi, secara tidak langsung,
untuk dapat melakukan pemecahan masalah, syarat yang tak boleh ditinggalkan
adalah memahami logika, termasuk dalam penarikan kesimpulan.
Dalam
Logika Matematika dipelajari cara membuat atau menarik kesimpulan berdasarkan
premis-premis atau pernyataan yang diberikan. Penarikan Kesimpulan dalam logika
matematika adalah menarik kesimpulan dengan cara menelaah tiap premis atau
pernyataan. Pernyataan atau premis yang diberikan sebelum menarik kesimpulan
dapat berupa penyataan tunggal maupun pernyataan majemuk. Baik pernyataan
tunggal maupun pernyataan majemuk seringkali mengandung kuantor didalamnya,
baik berupa kuantor sebagian maupun kuantor universal. Ada beberapa cara menarik kesimpulan, tergantung
dari bagaimana bentuk premisnya.
Beberapa konsep penarikan kesimpulan diantaranya adalah : Modus ponens,
modus Tollens dan Silogisma. Setiap
mahasiswa dalam belajar logika matematika
khususnya dalam penarikan kesimpulan seringkali berbeda cara
menginterpretasi kalimat pernyataan atau premis yang diberikan sehingga menarik
kesimpulan yang berbeda antara mahasiswa yang satu dengan yang lainnya. Apalagi
jika premis-premis tersebut mengandung kuantor. Tentunya diperlukan kemampuan
atau pengetahuan tersendiri dalam memahaminya sebelum akhirnya menarik
kesimpulan. Hal inilah yang membuat kami tertarik untuk menyusun makalah
“Analisis Pemecahan Masalah Dalam Menarik Kesimpulan dari Premis-Premis Berkuantor.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah
pada makalah ini adalah: Bagaimana pemecahan
masalah yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan dari premis-premis
berkuantor ?
C.
Kajian
Teori
1. Penarikan Kesimpulan
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses
mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu
pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode pencarian kebenaran
yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Pada
ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif dan eksperimen. Walaupun dalam
matematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi
seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus dapat dibuktikan
dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau
dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudah dibuktikan secara deduktif. Ciri utama penalaran dalam
matematika adalah deduktif, atau dengan perkataan lain matematika bersifat
deduktif, yaitu kebenaran suatu konsep atau pernyataan diperoleh sebagai akibat
logis dari kebenaran sebelumnya sehingga kaitan antar konsep atau pernyataan
matematika bersifat konsisten. (Rochmad, 2008:1)
Dalam penarikan kesimpulan dikenal adanya argumen,
premis dan konklusi. Argumen merupakan serangkaian pernyataan-pernyataan yang
mempunyai ungkapan pernyataan inferensi
(penarikan kesimpulan). Dalam argumen terdapat kata: jadi, sehingga, oleh karena itu, dan
sebagainya. Pernyataan-pernyataan yang terletak sebelum kata jadi disebut premis,
sedangkan pernyataan yang terletak setelah kata jadi disebut konklusi. (Khairunnisa, 2015:30)
a. Aturan Penarikan Kesimpulan
Menurut
Munir (2014: 26), beberapa aturan penarikan kesimpulan yang biasa digunakan
yaitu:
1. Modus Ponens
Berikut
adalah suatu ilustrasi mengenai penalaran kondisional.
Jika saya lapar, maka saya makan.
Ternyata saya lapar.
Jadi,
saya makan.
Penalaran
kondisional menjelaskan hubungan antara dua buah kondisi, dalam ilustrasi di
atas adalah kondisi lapar dan makan. Hubungan tersebut dapat dinyatakan
sebagai:
P1 : p
q
P2
:p
K : q
Rumusan di atas merupakan bentuk argumen valid yang
dikenal dengan nama Modus Ponen.
2. Modus Tollens
Dengan konteks yang sama, sekarang kita lihat bahwa
suatu pernyataan kondisional atau pernyataan implikasi yang benar dengan
konsekuen yang salah harus mempunyai anteseden yang salah. Argumen ini
dinamakan Modus Tollens, dengan bentuk:
P
1: p
q
P2 : ~ q
K
: ~ p
3. Silogisme Hipotetik
Beranjak pada argumen lain yang disebut sebagai Silogisme
Hipotetik dengan bentuk sebagai berikut:
P1: p
q
P2:
q
r
K: p
r
4. Silogisme Disjungtif
Argumen berbentuk Silogisme Disjungtif ini
mengandung pernyataan yang berupa disjungsi, misalnya:
Saya berada di Bandung atau di Garut.
Saya berada di Bandung.
Jadi,
saya tidak berada di Garut.
Jika
kita buat simbolnya, maka dapat kita tulis:
P1
: p Ú
q
P2
: p
K : ~ q
Hukum-hukum
Silogisme Disjungtif (Ranjabar,
2015:181) adalah:
• Silogisme disjungtif dalam arti sempit,
konklusi yang dihasilkan selalu benar, apabila prosedur penyimpulannya valid.
Contoh : Hasan berbaju putih atau tidak putih.
Ternyata Hasan berbaju
putih.
Jadi, Hasan bukan tidak
berbaju putih.
• Silogisme
disjungtif dalam arti luas, kebenaran konklusinya adalah
1. Bila
premis minor mengakui salah satu alternatif, maka konklusinya sah (benar).
Contoh : Budi menjadi guru atau pelaut.
Budi adalah guru.
Jadi, Maka Budi bukan pelaut.
2. Bila
premis minor mengingkari salah satu alternatif, maka konklusinya tidak sah
(salah).
Contoh : Penjahat itu lari ke Solo atau
ke Yogyakarta.
Ternyata tidak lari ke Yogyakarta
Jadi,
dia lari ke Solo?
Konklusi
yang salah karena bisa jadi dia lari ke kota lain.
5. Addisi
Addisi merupakan prinsip
penarikan kesimpulan yang sangat ringkas. Aturan ini hanya memuat satu buah
premis tunggal. Dalam addisi kita dapat menggabungkan suatu pernyataan dengan
pernyataan lain menggunakan disjungsi. Secara simbolik, addisi dinyatakan
dengan:
p
6. Silogisme
Kategorik
Menurut Sirajiyo (2015:67), silogisme kategorik
adalah silogisme yang semua posisinya merupakan proposisi kategorik. Dengan
memperhatikan kedudukan term pembanding (M) dalam premis pertama maupun premis
kedua, silogisme kategoris dapat dibedakan menjadi empat bentuk yaitu:
1. Silogisme
Sub-Pre, yang mempunyai pola sebagai berikut :
P1 : M P
P2 : S M
K : S P
(M
=Middle Term (term penengah), P (predikat) , S (Subjek))
Contoh
:
P1
:Semua manusia akan mati
P2: Socrates adalah manusia
K
: Socrates akan mati
2. Silogisme
Bis-Pre, yang mempunyai pola sebagai berikut :
P1 : P M
P2 : S M
K : S P
Contoh
:
P1
:Semua yang berjasa terhadap Negara adalah pahlawan
P2 :
Soekarno adalah pahlawan
K : Soekarno adalah orang yang berjasa terhadap
negara
3. Silogisme Bis-Sub, yang mempunyai pola sebagai
berikut :
P1 : M P
P2 : M S
K : S P
Contoh :
P1
:Manusia adalah berbudaya
P2: Manusia itu juga berakal budi
K : Semua yang berakal budi adalah berbudaya
4. Silogisme
Pre- Sub , yang mempunyai pola sebagai berikut :
P1 : P M
P2 : M S
K : S P
Contoh :
P1
:Semua influenza adalah penyakit
P2: Semua penyakit mengganggu kesehatan
K
: Sebagian yang mengganggu kesehatan
adalah influenza
Hukum-hukum Silogisme Kategorik adalah
sebagai berikut:
• Apabila
salah satu premis bersifat partikular, maka kesimpulan harus partikular juga.
•Apabila salah satu premis bersifat negatif, maka kesimpulannya harus
negatif juga.
• Apabila
kedua premis bersifat partikular, maka tidak sah diambil kesimpulan.
•
Apabila kedua premis bersifat negatif, maka tidak akan sah diambil
kesimpulan. Hal ini dikarenakan tidak ada mata rantai yang menhhubungkan kedua
proposisi premisnya. Kesimpulan dapat diambil jika salah satu premisnya
positif.
• Apabila
term penengah dari suatu premis tidak tentu, maka tidak akan sah diambil
kesimpulan.
• Term-predikat
dalam kesimpulan harus konsisten dengan term redikat yang ada pada premisnya.
Apabila tidak konsisten, maka kesimpulannya akan salah.
• Term
penengah harus bermakna sama, baik dalam premis mayor maupun premis minor. Bila
term penengah bermakna ganda kesimpulan menjadi lain.
·
Silogisme harus terdiri tiga term, yaitu
term subjek, predikat, dan term, tidak bisa diturunkan konklusinya.
b.
Aturan Penukaran (Rule Of Replacement)
Aturan Penukaran merupakan aturan-aturan
baru yang menunjang aturan penarikan kesimpulan yaitu. Dengan dasar
ekuivalensi, kita tahu bahwa dua pernyataan disebut ekuivalen jika memiliki
nilai kebenaran yang sama. Dengan demikian, jika sebagian atau keseluruhan dari
pernyataan majemuk ditukar dengan pernyataan lain yang ekuivalen logis, maka nilai kebenaran pernyataan majemuk yang baru
adalah sama dengan nilai kebenaran pernyataan majemuk semula.
Menurut Novianingsih, (2016:5),
aturan-aturan
yang terdapat dalam aturan penukaran antara lain:
a)
Teorema
de Morgan
~
(p Ù q) ≡
~ p Ú ~ q
~
(p Ú q) ≡ ~ p Ù
~ q
b)
Komutasi
p
Ú q ≡ q Ú
p
p
Ù q ≡
q Ù p
c)
Assosiasi
[(p Ú
q) Ú r)]
≡ [p Ú
(q Ú
r)]
[(p Ù
q) Ù r)]
≡ [p Ù (q Ù r)]
d)
Distribusi
[(p Ú
q) Ù
r)] ≡ [(p Ù
r) Ú (q Ù
r)]
[(p Ù
q) Ú
r)] ≡ [(p Ú
r) Ù (q Ú
r)]
e)
Negasi
Rangkap
p ≡ ~ ~ p
f)
Transposisi
(p
q) ≡ (~ q
~ p)
g)
Implikasi
Material
(p
q) ≡ (~ p Ú q)
h)
Ekuivalensi
Material
(p
q) ≡ [(p
q) Ù (q
p)]
(p
q) ≡ [(p
Ù q)
Ú
(~ p Ù
~ q)]
i)
Eksportasi
[(p Ù
q)
r)] ≡ [p
(q
r)]
j)
Tautologi
p ≡ (p Ù p)
p ≡ (p Ú p)
2.
Pernyataan
Kalimat adalah
rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti. Menurut
Mangelep (2011:13), pernyataan
adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus
benar dan salah (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar
diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang
sebenarnya. Dalam membicarakan sesuatu , orang memerlukan bahasa, salah satu
unsur penting dalam bahasa adalah
“kalimat”, yaitu rangkaian kata yang mempunyai arti dan disusun menurut
aturan tertentu. Pernyatan terbagi atas :
·
Pernyataan
Tunggal
Pernyataan tunggal
adalah pernyataan sederhana yang berdiri sendiri atau tidak mempunyai kata
penghubung. Contoh :
1). Saya memasak nasi
2). Makassar adalah ibukota
propinsi Sulawesi Selatan
·
Pernyataan majemuk ( pernyataan komposisi)
Suatu
pernyataan tunggal dapat dinyatakan dalam lambang , misalnya p , q , r dan
sebagainya. Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat gabungkan menjadi satu
pernyataan majemuk atau pernyataan komposisi dengan menggunakan kata hubung
Logika tertentu.
a)
Konjungsi
Dua
pernyataan tunggal p dan q dapat di komposisi dengan menggunakan kata hubung
“dan” untuk membentuk pernyataan majemuk
yang di sebut Konjungsi dari p dan q. Konjungsi dari p dan q dilambangkan
dengan “p Ù q “ (dibaca p dan q). Nilai kebenaran suatu konjungsi di tentukan oleh pernyataan pernyataan
penyusunnya. Jika pernyataan p bernilai benar dan pernyataan q bernilai
benar maka p Ù q benar , jika tidak
demikian maka p Ù q bernilai salah.
Ketentuan
tersebut dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran sebagai berikut:
|
P
|
Q
|
p Ù q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
b)
Disjungsi
Dua
pernyataan tunggal p dan q dapat dikomposisikan dengan menggunakan kata hubung
“atau” untuk membentuk pernyataan majemuk
yang di sebut Disjungsi dari p dan q. Disjungsi dari p dan q dilambangkan
dengan “p Ú q “ (dibaca p atau q) Nilai
kebenaran suatu disjungsi di tentukan
oleh pernyataan pernyataan penyusunnya. Jika pernyataan p bernilai benar
atau pernyataan q bernilai benar atau kedua-duanya bernilai benar maka p Ú q benar , jika tidak
demikian maka p Ú q bernilai salah. Dengan
kata lain disjungsi dua pernyataan bernilai salah hanya jika kedua pernyataan
penyusunnya bernilai salah. Ketentuan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel
kebenaran sebagai berikut:
|
P
|
Q
|
p Ú q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
c.
Implikasi atau pernyataan
bersyarat
Dua pernyataan tunggal p dan q dapat di komposisi dengan menggunakan kata
hubung “Jika …. Maka …. ” untuk membentuk
pernyataan majemuk yang di sebut Implikasi atau pernyataan bersyarat.
Implikasi :” Jika p maka
q “ dilambangkan dengan “p Þ q “ (dibaca Jika p
maka q). Implikasi p Þ q dapat juga dibaca
sebagai :
(i)
p hanya jika q
(ii)
q jika p
(iii)
p syarat cukup bagi q
(iv)
q syarat perlu bagi p
Dalam implikasi p Þ q , pernyataan p
disebut alasan atau sebab
(antecedent) , dan pernyataan q
sering disebut kesimpulan atau akibat
(Consequent) Nilai kebenaran suatu Implikasi di tentukan oleh pernyataan pernyataan
penyususnnya. Jika pernyataan p bernilai benar dan pernyataan q bernilai
salah maka p Þ q bernilai salah , jika tidak demikian maka p Þ q bernilai benar.
Ketentuan
tersebut dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran sebagai berikut:
|
p
|
q
|
p Þ q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
d. Biimplikasi
Kini kita sampai pada pemakaian kata
hubung terakhir yang erat kaitannya
dengan implikasi Dari dua pernyataan p
dan q yang diketahui dapat dibuat
pernyataan majemuk dalam bentuk “
p jika dan hanya jika q” yang
disebut dengan Biimplikasi atau
ekuivalensi (Implikasi dwi arah )
Ekuivalensi “P jika dan hanya jika q”
dinyatakan dengan lambang “ p Û q “
Ekuivalensi p Û q dapat juga
dibaca :
(i)
jika p maka q dan jika q maka p
(ii)
p syarat perlu dan cukup bagi q
(iii)
q syarat perlu dan cukup bagi p
Ekuivalensi p Û q
menegaskan bahwa :
Jika p benar maka q benar dan jika p salah maka q salah
Ketentuan tentang nilai kebenaran suatu Biimplikasi , disajikan dalam tabel
berikut :
|
p
|
q
|
p Û q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
3.
Pernyataan
Berkuantor
Menurut Khairunnisa (2015:36), kuantor adalah kata-kata seperti beberapa, semua, dan sebagainya
yang menunjukkan banyaknya elemen yang dibutuhkan agar predikat menjadi benar. Menurut
(Dirgantara, 2016:61), pernyataan berkuantor adalah suatu kalimat pernyataan
yang mengandung makna ”semua”atau ”beberapa/sebagian/ada”. Ada dua macam
kuantor untuk menyatakan jumlah objek yang terlibat :
1) Kuantor
Universal
Kuantor universal mempunyai
lambang " dan dibaca ”untuk setiap ” atau ”untuk semua”, misalkan
p(x) adalah suatu kalimat terbuka, pernyataan"x.p(x) dibaca ”untuk setiap x berlaku p (x)” atau ” untuk
semua x berlaku p(x)”
Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya
memiliki sifat kalimat yang menyatakannya.
* ("x) p(x) bernilai benar bila dan hanya bila p(x) benar
untuk semua x dalam semesta D.
* ("x) p(x) bernilai salah apabila ada x Î D yang menyebabkan p(x) salah. Harga x yang menyebabkan
p(x) salah disebut Contoh Penyangkal (Counter Example).
Contoh:
1.
Semua
manusia akan mati (bernilai benar)
2.
" x, 2x +3 >1, x
B (bernilai karena ada anggota bilangan bulat
yang tidak memenuhi pertidaksamaan, 2x +3 >1
3.
Semua
bilangan genap habis dibagi 2
2) Kuantor
Eksistensial
Kuantor
eksistensial mempunyai lambang $ dan dibaca ”beberapa”, ”terdapat”, atau ”ada”. Jika
dimisalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka. Maka $x,p(x) dibaca ” Untuk beberapa x berlaku p(x)” atau ” ada
x sedemikian sehingga berlaku p(x) ”
Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek dalam semestanya,
paling sedikit ada satu objek (atau lebih, asal tidak semua) yang
memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya.
Contoh pernyataan kuantor eksistensial :
1.
Ada
bilangan prima yang genap
2.
Ada
bilangan asli yang memenuhi persamaan x2-3x+2 =0
4.
Ingkaran Kalimat Berkuantor
Jika ada sebuah kalimat ”Semua penumpang dalam bis yang bertabrakan
selamat”. Sering kali orang berpikir bahwa ingkaran/negasi kalimat tersebut
adalah ”Semua penumpang dalam bis yang bertabarakan tidak selamat” atau ”Tidak
ada penumpang yang selamat dalam bis yang bertabrakan itu”. Padahal
kenyataannya, kalimat” Semua penumpang dalam bis yang bertabrakan selamat”
dianggap salah (diingkar) apabila ada penumpang yang meninggal (tidak perlu
semuanya meninggal). Jadi, sebenarnya ingkaran kalimat mula-mula adalah
”Ada/beberapa penumpang dalam bis yang bertabrakan itu meninggal.”
Sebaliknya, kalimat ”Ada penumpang yang selamat dalam
kecelakaan bis itu” dikatakan salah (diingkari) jika ”Semua penumpang meninggal
dalam kecelakaan bis itu.” Menurut Siang,
(2009:82) secara umum ingkaran kalimat ”Semua x bersifat p(x)” adalah ”Ada x
yang tidak bersifat p(x)”, dan ingkaran kalimat ”Ada x yang bersifat q(x)”
adalah ”Semua x tidak bersifat q(x) ”. Secara formal, ingkaran kalimat
berkuantor adalah:
¬ (("x Î D) p(x))
($ x Î D) ¬ p(x)
¬ (($ x Î D) q(x))
("x Î D) ¬ q(x)
Contoh :
Tentukanlah ingkaran atau negasi dari pernyataan
berkuantor berikut ini dan tentukan pula nilai kebenarannya!
1.
Semua
manusia akan mati
2.
$x, (x+1> x)
Penyelesaian:
1.
p:
semua manusia akan mati
3.
p
: $x, (x+1> x)
5. Pemecahan
Masalah Matematika
Masalah dalam matematika dapat
berupa soal-soal yang belum diketahui prosedur pemecahannya oleh siswa.
Pemecahan masalah merupakan upaya memperoleh solusi masalah dengan menerapkan
pengetahuan matematika dan melibatkan keterampilan siswa berpikir dan bernalar.
Pemecahan masalah matematika dapat berfungsi sebagai konteks (problem solving as context), sebagai
keterampilan (problem solving as skill),
dan sebagai seni dari matematika (problem
solving as art) (Stanick dan Kilpatrick dalam Imran, 2015:
10).
Setiap masalah ini tentu saja
memerlukan cara penyelesaian yang berbeda-beda. Salah satu diantaranya adalah
melalui pemecahan masalah matematika (Mathematical
Problem Solving). Berbagai macam soal dalam matematika mempunyai kekhasan
dan memerlukan strategi yang khas pula untuk menyelesaikannya. Strategi semacam
ini secara utuh akan dapat dipahami dan dikuasai apabila seseorang terbiasa
melatih diri dengan berbagai macam tipe dan tingkat kesulitan soal-soal
matematika.
Seorang tokoh pemecahan
masalah terkemuka bernama George Polya telah banyak dikenal pada bidang Matematika. Hasil karya Polya yang paling monumental adalah
identifikasi langkah umum yang harus dilakukan oleh setiap orang untuk
memecahkan masalah (Herry,dalam Imran, 2015: 11). Langkah-langkah umum tersebut adalah :
a)
Memahami masalah (understand the problem)
Kegiatan pemecahan
masalah pada tahap ini, siswa diharapkan untuk menetapkan apa yang diketahui
pada permasalahan dan apa yang ditanyakan. Beberapa pertanyaan perlu dimunculkan
kepada siswa untuk membantunya dalam memahami masalah ini.
Pertanyaan-pertanyaan tersebut, antara lain :
a)
Apakah yang diketahui dari soal ?
b)
Apakah yang ditanyakan soal ?
c)
Apa sajakah informasi yang diperlukan ?
d)
Bagaimana akan menyelesaikan soal ?
Berdasarkan pertanyaan-pertanyaan di atas, diharapkan
siswa dapat lebih mudah mengidentifikasi unsur yang diketahui dan yang
ditanyakan soal.
b)
Mengembangkan suatu
rencana pemecahan masalah (devise a plan)
Pendekatan pemecahan masalah tidak akan berhasil tanpa
perencanaan yang baik. Dalam perencanaan pemecahan masalah, siswa diarahkan
untuk dapat mengidentifikasi strategi-strategi pemecahan masalah yang sesuai
untuk menyelesaikan masalah. Hal yang penting untuk diperhatikan dalam
mengidentifikasi strategi-strategi pemecahan masalah adalah apakah strategi
tersebut berkatan dengan permasalahan yang dipecahkan.
c)
Menerapkan rencana (implement
the plan)
Jika siswa telah memahami permasalahan dengan baik dan
sudah menentukan strategi pemecahannya, langkah selanjutnya adalah melaksanakan
penyelesaian soal sesuai dengan yang telah direncanakan. Kemampuan siswa
memahami substansi materi dan keterampilan siswa melakukan
perhitungan-perhitungan matematika akan sangat membantu siswa untuk
melaksanakan tahap ini.
d)
Mengkaji ulang jawaban
dan prosesnya (look back)
Langkah
mengkaji ulang jawaban yang diperoleh merupakan langkah terakhir dari
pendekatan pemecahan masalah matematika. Langkah ini penting dilakukan untuk
mengecek apakah hasil yang diperoleh sudah sesuai dengan ketentuan dan tidak
terjadi kontradiksi dengan yang ditanya.
Ada
empat langkah penting yang dapat dijadikan pedoman untuk melaksanakan langkah
ini, yaitu :
1)
Mencocokkan hasil yang diperoleh dengan hal
yang ditanyakan
2)
Menginterpretasikan jawaban yang diperoleh
3)
Mengidentifikasi adakah cara lain untuk
mendapatkan solusinya
4)
Mengidentifikasi adakah jawaban atau hasil
yang memenuhi.
D. Pemecahan
Masalah
Beberapa
pemecahan masalah penarikan kesimpulan dari premis-premis berkuantor adalah
sebagai berikut:
1.
Masalah 1
Diketahui
premis-premis sebagai berikut:
P1 : Jika semua
karyawan hotel bekerja dengan baik maka pengunjung hotel merasa senang
P2 : Semua karyawan
hotel bekerja dengan baik
Tentukan kesimpulan berdasarkan premis-premis yang
diberikan di atas!
Pemecahan
Masalah :
Langkah-langkah
pemecahan masalah (berdasarkan metode pemecahan masalah oleh Polya) adalah
sebagai berikut:
a. Memahami masalah
Diketahui :
P1 : Jika semua
karyawan hotel bekerja dengan baik maka pengunjung hotel merasa senang
P2 : Semua
karyawan hotel bekerja dengan baik
Yang menjadi masalah adalah apa kesimpulan yang dapat
ditarik dari premis-premis yang diberikan di atas !
b. Merencanakan penyelesaian
- Menelaah premis
·
P1
: Jika semua karyawan hotel bekerja
dengan baik maka pengunjung hotel merasa senang
Untuk premis 1,
premis ini berbentuk pernyataan majemuk implikasi.
Misalkan p =
semua karyawan hotel bekerja dengan baik
q = pengunjung hotel merasa senang
·
P2
: Semua karyawan hotel bekerja dengan
baik (p)
Untuk Premis
2, premis ini berbentuk pernyataan
berkuantor dengan kuantor universal. Premis merupakan bagian dari premis 1
yaitu pernyataan yang membenarkan antesenden pada premis 1.
- Menggunakan aturan
penarikan kesimpulan
Dengan memperhatikan bentuk premis yaitu
P2 : p
Berarti aturan penarikan kesimpulan yang sesuai dengan
premis diatas adalah modus ponens.
K : q
c. Menyelesaikan masalah
Pada langkah sebelumnya, telah diketahui bahwa bentuk
aturan penarikan kesimpulan yang sesuai adalah modus ponens sehingga:
P2 : Semua karyawan hotel bekerja dengan baik (p)
K : Pengunjung
hotel merasa senang (q)
d. Memeriksa Kembali
Kesimpulan pada
langkah ke-3 sudah sesuai dengan apa yang ditanyakan pada masalah ini dan juga
sesuai dengan aturan penarikan kesimpulan yang direncanakan pada langkah ke dua.
Jadi kesimpulannya, Pengunjung hotel merasa senang
2.
Masalah
2
Diketahui
premis-premis sebagai berikut:
P1 : Jika sebagian
karyawan hotel malas maka pengunjung hotel merasa tidak senang
P2 : Pengunjung
hotel merasa senang
Tentukan kesimpulan berdasarkan premis-premis yang
diberikan di atas!
Pemecahan
Masalah :
Langkah-langkah
pemecahan masalah (berdasarkan metode pemecahan masalah oleh Polya) adalah
sebagai berikut:
a. Memahami masalah
Diketahui :
P1 : Jika sebagian
karyawan hotel malas maka pengunjung hotel merasa tidak senang
P2 : Pengunjung hotel merasa senang
Yang menjadi masalah adalah apa kesimpulan yang dapat
ditarik dari premis-premis yang diberikan di atas !
b. Merencanakan penyelesaian
- Menelaah premis
·
P1
: Jika sebagian karyawan hotel malas
maka pengunjung hotel merasa tidak senang
Untuk Premis 1,
premis ini berbentuk pernyataan majemuk implikasi.
Misalkan p =
sebagian karyawan hotel malas
q = pengunjung hotel merasa tidak senang
· P2 : Pengunjung
hotel merasa senang (
)
Untuk Premis 2, premis ini berbentuk pernyataan berkuantor
dengan kuantor universal. Premis merupakan bagian dari premis 1 berupa
pernyataan yang mengingkari antesenden pada premis 1.
- Menggunakan aturan
penarikan kesimpulan
Dengan memperhatikan bentuk premis yaitu
P2 :
Berarti aturan penarikan kesimpulan yang sesuai dengan
premis diatas adalah modus Tollens
Oleh karena pada modus Tollens, premis minornya
mengingkari bagian konsekuennya maka untuk menarik kesimpulan pada modus
Tollens dengan premis-premis berkuantor adalah dengan mengingkari bagian
antesenden pada premis mayornya. Disini, kita perlu teliti untuk menarik
kesimpulan jika bagian antesenden pada premis mayor mengandung kuantor. Pada masalah ini, kita harus menggunakan
aturan ingkaran pernyataan berkuantor. Sehingga kesimpulan yang dapat ditarik
adalah :
K :
c. Menyelesaikan masalah
Pada langkah sebelumnya, telah diketahui bahwa bentuk
aturan penarikan kesimpulan yang sesuai adalah modus tollens sehingga:
Kemudian kita diminta untuk menarik kesimpulan dari
premis diatas, dengan memeriksa premisnya terlebih dahulu, maka akan diperoleh bahwa masalah diatas
merupakan argumen berbentuk modus tollens, sehingga dapat disimpulkan sebagai
berikut:
P1 : Jika sebagian
karyawan hotel malas maka pengunjung hotel merasa tidak senang (p
q)
P2 : Pengunjung
hotel merasa senang (
)
K
: Semua karyawan hotel tidak
malas
)
d. Memeriksa Kembali
Kesimpulan pada langkah ke-3 sudah sesuai dengan apa yang
ditanyakan pada masalah ini dan juga sesuai dengan aturan penarikan kesimpulan
yang direncanakan pada langkah ke dua. Jadi , kesimpulannya adalah Semua
karyawan hotel tidak malas
3.
Masalah 3
Diketahui
premis-premis sebagai berikut:
P1 : Jika semua
karyawan hotel bekerja dengan baik maka pengunjung hotel merasa senang
P2 : Jika pengunjung hotel merasa senang maka pendapatan
pimpinan hotel meningkat
Tentukan kesimpulan berdasarkan premis-premis yang
diberikan di atas!
Pemecahan
Masalah :
Langkah-langkah
pemecahan masalah (berdasarkan metode pemecahan masalah oleh Polya) adalah
sebagai berikut:
a. Memahami masalah
Diketahui :
P1 : Jika semua karyawan hotel bekerja dengan baik
maka pengunjung hotel merasa senang
P2 : Jika pengunjung hotel merasa senang maka pendapatan
pimpinan hotel meningkat
Yang menjadi masalah adalah apa kesimpulan yang dapat
ditarik dari premis-premis yang diberikan di atas !
b. Merencanakan penyelesaian
- Menelaah premis
·
P1
: Jika semua karyawan hotel bekerja
dengan baik maka pengunjung hotel merasa senang
Untuk Premis 1,
premis ini berbentuk pernyataan majemuk implikasi.
Misalkan p =
semua karyawan hotel bekerja dengan baik
q = pengunjung hotel merasa senang
· Untuk Premis
2, berbentuk implikasi dimana bagian
antesendennya merupakan pernyataan yang menjadi konsekuen pada premis 1.
P2 : Jika
pengunjung hotel merasa senang maka pendapatan pimpinan
hotel meningkat
Misalkan p = semua karyawan hotel bekerja dengan
baik
q = pengunjung hotel merasa
senang
- Menggunakan aturan
penarikan kesimpulan
Dengan memperhatikan bentuk premis yaitu
Berarti aturan penarikan kesimpulan yang sesuai dengan
premis diatas adalah modus silogisme,
sehingga
c. Menyelesaikan masalah
Pada langkah sebelumnya, telah diketahui bahwa bentuk
aturan penarikan kesimpulan yang sesuai adalah modus silogisme sehingga:
d.
Memeriksa
Kembali
Kesimpulan pada
langkah ke-3 sudah sesuai dengan apa yang ditanyakan pada masalah ini dan juga
sesuai dengan aturan penarikan kesimpulan yang direncanakan pada langkah ke dua.
Jadi kesimpulannya, Jika semua karyawan hotel bekerja dengan baik maka
pendapatan pimpinan hotel meningkat
4.
Masalah 4
Diketahui
premis-premis sebagai berikut:
P1 : Semua yang halal dimakan
menyehatkan
P2 : Sebagian makanan tidak menyehatkan
Tentukan kesimpulan dari premis-premis
di atas !
Pemecahan Masalah :
Langkah-langkah pemecahan masalah (berdasarkan metode
pemecahan masalah oleh Polya) adalah sebagai berikut:
a. Memahami masalah
Diketahui :
P1 :
Semua
yang halal dimakan menyehatkan
P2 : Sebagian makanan tidak
menyehatkan
Yang menjadi
masalah adalah apa kesimpulan yang dapat ditarik dari premis-premis yang
diberikan di atas !
b. Merencanakan penyelesaian
- Menelaah premis
·
P1
: Semua yang halal
dimakan menyehatkan
Untuk Premis 1,
premis ini berbentuk pernyataan /proposisi kategorik
Maka premis
1 di atas dapat berbentuk : P M
·
P2
: Sebagian makanan tidak menyehatkan
Untuk Premis 2, berbentuk
pernyataan / proposisi kategorik dan berbentuk : S M
- Menggunakan aturan
penarikan kesimpulan
Dengan memperhatikan bentuk premis yaitu
P 1 : PM
P2 : S M
Berarti aturan penarikan kesimpulan yang sesuai dengan
premis diatas adalah silogisme kategorik bentuk Bis-Pre , sehingga
K : S P
Untuk menarik
kesimpulan dari premis-premis berkuantor dengan menggunakan Silogisme
Kategorik harus mengikuti hukum-hukum
Silogisme Kategorik. Apabila salah satu premis bersifat partikular, maka
kesimpulan harus partikular juga.
c. Menyelesaikan masalah
Pada langkah sebelumnya, telah diketahui bahwa bentuk
aturan penarikan kesimpulan yang sesuai adalah silogisme kategorik bentuk
Bis-Pre sehingga dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
P1 :
Semua
yang halal dimakan menyehatkan (PM)
P2 : Sebagian makanan tidak
menyehatkan (SM)
K : Sebagian makanan tidak halal dimakan (S P)
d.
Memeriksa
Kembali
Kesimpulan pada langkah ke-3 sudah sesuai dengan apa yang
ditanyakan pada masalah ini dan juga sesuai dengan aturan penarikan kesimpulan
yang direncanakan pada langkah ke dua
5. Masalah
5
Diketahui
premis-premis sebagai berikut:
P1 : Semua korupsi tidak
disenangi
P2 : Sebagian pejabat korupsi
Tentukan kesimpulan dari premis-premis
di atas !
Pemecahan
Masalah :
Langkah-langkah pemecahan masalah (berdasarkan metode
pemecahan masalah oleh Polya) adalah sebagai berikut:
a. Memahami masalah
Diketahui :
P1 :
Semua
korupsi tidak disenangi
P2 : Sebagian pejabat korupsi
Yang menjadi
masalah adalah apa kesimpulan yang dapat ditarik dari premis-premis yang
diberikan di atas !
b. Merencanakan penyelesaian
- Menelaah premis
·
P1
: Semua korupsi tidak
disenangi
Untuk Premis 1,
premis ini berbentuk pernyataan /proposisi kategorik
Maka premis 1
di atas dapat berbentuk : M P
·
P2 :Sebagian pejabat korupsi
Untuk Premis 2, berbentuk pernyataan / proposisi kategorik
dan berbentuk : S M
- Menggunakan aturan
penarikan kesimpulan
Dengan memperhatikan bentuk premis yaitu
P 1 : M P
P2 : S M
Berarti aturan penarikan kesimpulan yang sesuai dengan
premis diatas adalah silogisme kategorik bentuk sub-pre, sehingga
K : S P
Untuk menarik kesimpulan dari premis-premis berkuantor
dengan menggunakan Silogisme Kategorik
harus mengikuti hukum-hukum Silogisme Kategorik. Apabila
salah satu premis bersifat partikular, maka kesimpulan harus partikular juga. Apabila
salah satu premis bersifat negatif, maka kesimpulannya harus negatif juga.
c. Menyelesaikan masalah
Pada langkah sebelumnya, telah diketahui bahwa bentuk
aturan penarikan kesimpulan yang sesuai adalah silogisme kategorik bentuk Sub-Pre
sehingga dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
P1 :
Semua
korupsi tidak disenangi (MP)
P2 : Sebagian pejabat korupsi (S
M)
K : Sebagian pejabat tidak disenangi (S P)
d.
Memeriksa
Kembali
Kesimpulan pada langkah ke-3 sudah sesuai dengan apa yang
ditanyakan pada masalah ini dan juga sesuai dengan aturan penarikan kesimpulan
yang direncanakan pada langkah ke dua. Jadi kesimpulannya : sebagian
pejabat tidak disenangi
6.
Masalah
6
Diberikan premis – premis sebagai berikut :
P1 : Jika
penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk menguasai IPA
P2: IPA tidak
sulit dikuasai atau sebagian perusahaan tidak berkembang
Tentukanlah kesimpulan dari premis-premis di atas !
Pemecahan
Masalah :
Langkah-langkah pemecahan masalah (berdasarkan metode
pemecahan masalah oleh Polya) adalah sebagai berikut:
1. Memahami masalah
Diketahui :
P1 : Jika
penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk menguasai IPA
P2: IPA tidak
sulit dikuasai atau sebagian perusahaan tidak berkembang
Yang menjadi masalah adalah apa kesimpulan yang dapat
ditarik dari premis-premis yang diberikan di atas !
2. Merencanakan penyelesaian
-
Menelaah
premis
-
P1
: Jika penguasaan matematika rendah,
maka sulit untuk menguasai IPA
Untuk Premis 1, premis ini berbentuk pernyataan majemuk
implikasi.
Misalkan p =
penguasaan matematika rendah
q = sulit untuk menguasai IPA
-
Untuk
Premis 2, berbentuk disjungsi
P2 : IPA tidak sulit dikuasai atau sebagian perusahaan
tidak berkembang
Misalkan p = penguasaan matematika rendah
q = sebagian perusahaan tidak
berkembang
Maka premis 2 di atas dapat berbentuk : ~q
r
- Menggunakan aturan penarikan kesimpulan
Dengan menyetarakan
pernyataan premis kedua dengan menggunakan aturan penukaran atau pernyataan
ekuivalen (q
r) ≡ (~ q Ú r) diperoleh
P 2 : Jika IPA
sulit dikuasai maka sebagian perusahaan tidak berkembang
Setelah menyetarakan pernyataan
tersebut dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :
P1 : Jika penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk
menguasai IPA (p
q)
P2: Jika IPA sulit dikuasai maka sebagian perusahaan
tidak berkembang
(q
r)
Dengan melihat bentuk premisnya,
maka aturan penarikan kesimpulan yang sesuai adalah silogisme hipotetik.
3. Menyelesaikan masalah
Pada langkah sebelumnya, telah diketahui bahwa bentuk
aturan penarikan kesimpulan yang sesuai adalah modus silogisme hipotetik sehingga:
P1 : Jika penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk
menguasai IPA (p
q)
P2: Jika IPA sulit dikuasai maka sebagian perusahaan
tidak berkembang
(q
r)
K
: Jika penguasaan matematika rendah maka sebagian perusahaan tidak berkembang (p
r)
4. Memeriksa kembali
Kesimpulan pada langkah ke-3 sudah sesuai dengan apa yang
ditanyakan pada masalah ini dan juga sesuai dengan aturan penarikan kesimpulan
yang direncanakan pada langkah ke dua. Berarti kesimpulannya adalah
jika penguasaan matematika rendah, maka sebagian perusahaan tidak berkembang.
E. Kesimpulan Dan Saran
1. Kesimpulan
Berdasarkan
tinjauan pustaka dan pemecahan masalah yang telah dibahas di atas, dapat
ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut:
a.
Untuk
menarik kesimpulan dari premis-premis berkuantor dapat menggunakan beberapa
aturan penarikan kesimpulan yaitu Modus Ponens, Modus Tollens, Silogisme
Hipotetik, Silogisme Disjungtif, Silogisme Kategorik, dan Addisi.
b.
Penarikan
kesimpulan dari premis-premis berkuantor dimana argumennya tidak mengikuti atau
tidak menyerupai aturan penarikan kesimpulan apapun, dapat diselesaikan dengan
cara menggunakan aturan penukaran atau pernyataan yang ekuivalen dengan argumen
pada aturan penarikan kesimpulan yang ada.
c.
Untuk
memecahkan masalah dalam penarikan kesimpulan dari premis-premis berkuantor
dapat menggunakan langkah-langkah pemecahan masalah (berdasarkan metode
pemecahan masalah oleh Polya) adalah sebagai berikut:
1. Memahami masalah
2. Merencanakan penyelesaian
3. Menyelesaikan masalah
4. Memeriksa Kembali
2. Saran
Sebelum menarik kesimpulan dari
beberapa pernyataan atau premis, sebaiknya menelaah terlebih dahulu setiap
premis-premis yang diberikan terutama jika mengandung premis berkuantor, kemudian menarik kesimpulan dengan
menggunakan kaidah-kaidah/aturan penarikan kesimpulan yang sesuai.
DAFTAR
PUSTAKA
Dirgantara,
Harya Bima. 2016. Matematika Untuk Ilmu
Komputer. Yogyakarta: Matematika
Imran, Muh. 2015. Analisis
Keterampilan Metakognisi Dalam Pemecahan
Masalah Matematika Siswa Kelas XI IPA1 SMAN 3 Parepare Berdasarkan Gender (Skripsi). Pare-Pare: Universitas Muhammadiyah Pare-Pare.
Khairunnisa,
Afidah. 2015. Matematika Dasar. Jakarta:
Raja Grafindo Persada
Mangelep, Navel. 2011. Logika Matematika (Modul). Online.
http://navelmangelep.files.wordpress.com/2011/12/modul-logika-matematika. Diakses tanggal 04
Oktober 2016.
Munir, Rinaldi. 2014. Matematika Diskrit. Bandung :
Informatika.
Novianingsih. 2016. Argumen dan Penarikan
Kesimpulan (Makalah Online). http://file.upi.edu/Direktori/FMIPA/JUR_PEND_MATEMATIKA/KHUSNUL_NOVANINGSIH/ARGUMEN. Diakses tanggal 04
Oktober 2016
Ranjabar, Jacobus. 2015. Dasar-Dasar Logika (Sebuah Langkah Awal untuk Masuk ke Berbagai
Disiplin Ilmu dan Pengetahuan). Bandung: Alfabeta.
Rochmad. 2008. Penggunaan
Pola Pikir Induktif-Deduktif dalam Pembelajaran Matematika Beracuan
Konstruktivisme (Makalah Online). http://rochmad-unnes.blogspot.com/2008/01/penggunaan-pola-pikir-induktif-deduktif.html. diakses 9 Oktober
2016.
Siang,
Jong Jek. 2009. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta :
Andi Offset
Suherman,
Erman.dkk. 2001. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer.
Bandung:JICA-Universitas Pendidikan Indonesia
Sukino.
2007. Matematika Untuk SMA kelas X.
Jakarta : Erlangga
Surajiyo,
dkk. 2015. Dasar-Dasar Logika.
Jakarta: Bumi Aksara
.
